Розширена соболєвська шкала для векторних розшарувань та її застосування

Анотація

Досліджено розширену соболєвську шкалу для гладких векторних розшарувань на замкненому многовиді. Вона побудована на основі гільбертових просторів розподілів узагальненої гладкості, заданої довільною додатною функцією, OR-змінною на нескінченності. Показано, що ця шкала отримується квадратичною інтерполяцією (з функціональним параметром) гільбертових просторів Соболєва, замкнена щодо квадратичної інтерполяції та складається з усіх гільбертових просторів, інтерполяційних для пар гільбертових просторів Соболєва. Доведено теореми вкладення і теорему двоїстості для цієї шкали. Дано застосування розширеної соболєвської шкали до еліптичних (за Дуглісом-Ніренбергом) псевдодиференціальних операторів мішаного порядку, які діють на парі векторних розшарувань одного рангу. Доведено їх фредгольмовість на відповідних парах просторів на шкалі, дано достатню і необхідну умову локальної узагальненої гладкості розв'язків еліптичної системи мішаного порядку та відповідну апріорну оцінку розв'язків. Також дано достатню умову, за якої вибрана компонента розв'язку є $q$ разів неперервно диференційовною на вказаній частині многовиду.