Топологічний ізоморфізм зліченно-породженої алгебри цілих функцій на $\ell_{\infty}$ та алгебри симетричних цілих функцій на $L_{\infty}^{2}[0,1]$

Анотація

У даній статті отримано деякі загальні результати про зліченно-породжені алгебри цілих функцій обмеженого типу на комплексному банаховому просторі. Зокрема, досліджено підалгебру Фреше $H_{b\mathbf{P}}(X)$ алгебри Фреше всіх цілих функцій обмеженого типу $H_b(X),$ породжену зліченною множиною $\mathbf{P}$ неперервних алгебраїчно незалежних комплекснозначних однорідних поліномів на комплексному банаховому просторі $X,$ такою, що деяка скінченна кількість елементів множини $\mathbf{P}$ може мати однаковий степінь однорідності. Встановлено вигляд елементів цієї підалгебри. Крім того, показано, що кожний лінійний мультиплікативний функціонал, який діє з алгебри $H_{b\mathbf{P}}(X)$ у простір $\mathbb{C},$ цілком визначений своїми значеннями на елементах множини $\mathbf{P}.$ Також встановлено оцінку зверху для значення такого функціонала на довільному $n$-однорідному поліномі, який належить алгебрі $H_{b\mathbf{P}}(X).$ Ці результати використано для деяких алгебр.

Нехай $L_{\infty}[0,1]$ $-$ комплексний банаховий простір усіх комплекснозначних вимірних за Лебегом суттєво обмежених функцій на відрізку $[0,1].$ Нехай $L_{\infty}^{2}[0,1]$ є декартовим квадратом простору $L_{\infty}[0,1].$ Розглянуто алгебру Фреше $H_{bs}(L_{\infty}^{2}[0,1])$ усіх цілих симетричних функцій обмеженого типу на просторі $L_{\infty}^{2}[0,1].$ У роботі побудовано зліченно-породжену підалгебру Фреше алгебри $H_b(\ell_\infty),$ яка є топологічно ізоморфною до $H_{bs}(L_{\infty}^{2}[0,1]),$ де $\ell_{\infty}$ є комплексним банаховим простором усіх обмежених послідовностей комплексних чисел. А саме, нехай \[\mathcal{I}=\big(I_{11}, I_{12}, I_{21}, I_{22}, I_{23}, \ldots, I_{n1}, I_{n2}, \ldots, I_{n,n+1}, \ldots\big),\] де $I_{11}(x) = x_1$, $I_{12}(x) = x_2$, $I_{21}(x) = x_3^2$, $I_{22}(x) = x_4^2$, $I_{23}(x) = x_5^2$, $I_{31}(x) = x_6^3$, $I_{32}(x) = x_7^3$, $I_{33}(x) = x_8^3$, $I_{34}(x) = x_9^3, \ldots$, де $x = (x_1, x_2, \ldots ) \in \ell_{\infty}.$ Позначимо через $H_{b\mathcal{I}}(\ell_{\infty})$ підалгебру Фреше алгебри $H_b(\ell_\infty),$ породжену послідовністю поліномів $\mathcal{I}.$ У роботі побудовано топологічний ізоморфізм між алгебрами $H_{b\mathbb{\mathcal{I}}}(\ell_{\infty})$ та $H_{bs}(L_{\infty}^{2}[0,1]).$

Результати статті можуть бути використані для досліджень алгебр симетричних аналітичних функцій на банахових просторах.