Строго опуклі абелеві метричні групи є нормованими просторами
https://doi.org/10.15330/cmp.18.1.198-210
Ключові слова:
cтрого опуклий метричний простір, нормований простір, абелева метрична група, геодезійний метричний простір, скінченновимірний нормований простір, локально компактна метрична група, $\mathbb R$-нормована метрична групаАнотація
Строга опуклість є фундаментальною геометричною властивістю банахових просторів, що забезпечує єдиність найкращих апроксимацій, відіграє центральну роль у теорії дуальності та слугує підґрунтям для застосувань у оптимізації, теорії апроксимацій та теорії нерухомих точок. Незважаючи на те, що строга опуклість зазвичай означується для нормованих або банахових просторів, це чисто метрична властивість, яку можна визначити без залучення лінійної чи опуклої структури. У цій роботі доведено, що кожна строго опукла абелева метрична група має канонічну структуру нормованого простору над полем дійсних чисел. Щоб довести це твердження, ми спершу показуємо, що кожен строго опуклий метричний простір є геодезійним у тому сенсі, що будь-які дві точки з'єднуються єдиним прямолінійним сегментом, а також що кожна строго опукла абелева метрична група є однозначно $2$-подільною. Це дозволяє нам наділити групу структурою ${\mathbb Z}[\frac{1}{2}]$-комодуля і продовжити операцію множення на двійково-раціональні числа до операції множення на дійсні числа, використовуючи строгу опуклість метрики.
