Автоморфізми напівгрупи ендоморфізмів вільної моногенної строгої $n$-кратної напівгрупи

Анотація

Вільні об’єкти мають фундаментальне значення в алгебрі та відіграють центральну роль в універсальнiй алгебраїчнiй геометрії Б. Плоткіна. Ключовий підхід, започаткований Б. Плоткіним і розвинений у співавторстві з іншими дослідниками, полягає у вивченні автоморфізмів категорії скінченно породжених вільних алгебр. Ця задача пов’язана з дослідженням автоморфізмів напівгруп ендоморфізмів скінченно породжених вільних алгебр. Алгебри розмірності один відіграють особливу роль у вивченні властивостей алгебр вищих розмірностей. Вільні моногенні алгебри формують природний клас, з якого доцільно починати дослідження автоморфізмів напівгруп ендоморфізмів вільних алгебр довільного рангу.

Поняття строгої $n$-кратної напівгрупи та вільні строгі $n$-кратні напівгрупи природно виникають у кількох теоретичних контекстах, зокрема у теорії триалгебр і тріоїдів, теорії діалгебр і дімоноїдів, теорії сильних допельнапівгруп та теорії $n$-кратних напівгруп. $n$-кратні напігрупи, у свою чергу, тісно пов’язані з поняттям $n$-кратної алгебри асоціативного типу, яке було введено для отримання аналога конструкції Шевалле для модульних алгебр Лі картанівського типу. У кожній строгій $n$-кратній напівгрупі будь-які дві напівгрупи є $\mathcal{P}$-зв’язаними, а вільні строгі $n$-кратні напівгрупи визначаються своїми напівгрупами ендоморфізмів.

У цій статті побудовано напівгрупу, ізоморфну напівгрупі ендоморфізмів вільної моногенної cтрогої $n$-кратної напівгрупи, і доведено, що група автоморфізмів напівгрупи ендоморфізмів вільної моногенної строгої $n$-кратної напівгрупи є ізоморфною прямому добутку двох симетричних груп.