Про розширенi стохастичнi iнтеграли за процесами Левi

Анотація

Позначимо через $L$ процес Леві на $[0,+\infty)$. У частинних випадках, коли $L$ $-$ вінерівський чи пуассонівський процес, будь-яку квадратично інтегровну випадкову величину можна розкласти у ряд з повторних стохастичних інтегралів за $L$ від невипадкових функцій. Ця властивість $L$, відома як властивість хаотичного розкладу (ВХР), відіграє дуже важливу роль у стохастичному аналізі. На жаль, взагалі кажучи, процес Леві не володіє ВХР.

Існують різноманітні узагальнення ВХР для процесів Леві. Зокрема, при підході Іто процес Леві $L$ розкладають у суму гауссівського процесу та стохастичного інтеграла за пуассонівською випадковою мірою, після цього використовують ВХР для обох доданків з метою отримання узагальненої ВХР для $L$. Підхід Нуаларта та Скоутенса полягає у розкладі квадратично інтегровної випадкової величини у ряд з повторних стохастичних інтегралів від невипадкових функцій за так званими ортогоналізованими центрованими процесами степенів стрибків, ці процеси побудовані з використанням cadlag  версії $L$. Підхід Литвинова заснований на ортогоналізації неперервних поліномів у просторі квадратично інтегровних випадкових величин.

У цій статті ми будуємо розширений стохастичний інтеграл за процесом Леві та стохастичну похідну Хіди у термінах узагальненої ВХР, запропонованої Литвиновим; встановлюємо деякі властивості цих операторів; та, що є найбільш важливим, показуємо, що розширені стохастичні інтеграли, побудовані із застосуванням вищезгаданих узагальнень ВХР, співпадають.