Точки вузькості і одностайно вузькі лінійні та ортогонально адитивні оператори

Анотація

Відомо, що сума довільних двох вузьких операторів на $L_1$ є вузькою, проте для просторів $L_p$ з $1 < p < \infty$ аналогічне твердження хибне. Дана стаття продовжує численні дослідження на цю тему. По-перше, ми вивчаємо вузькість лінійних та ортогонально адитивних операторів на функціональних просторах Кете і векторних ґратках у фіксованій точці. Теорема 1 стверджує, що для кожного банахового простору Кете на просторі зі скінченною безатомною мірою існують лінійні неперервні оператори $S,T: E \to E$, які є вузькими у деякій фіксованій точці, проте сума $S+T$ не є вузькою у цій же самій точці. По-друге, ми уводимо і досліджуємо одностайно вузькі пари операторів $S,T: E \to X$, тобто, для кожного $e \in E$ та кожного $\varepsilon > 0$ існує розклад $e = e' + e''$ на диз'юнктні елементи такий, що $\|S(e') - S(e'')\| < \varepsilon$ та $\|T(e') - T(e'')\| < \varepsilon$. Стандартний метод в літературі доведення вузькості суми двох вузьких операторів $S+T$ полягає в тому, щоби показати, що пара $S,T$ є одностайно вузькою. Ми вивчаємо питання, чи кожна пара вузьких операторів з вузькою сумою є одностайно вузькою. Не маючи жодного контрприкладу, ми доводимо кілька теорем, які надають позитивну відповідь для деяких часткових випадків.