Структура розв'язків матричних лінійних однобічних поліноміальних рівнянь від двох змінних

Анотація

Досліджується структура розв'язків матричного лінійного поліноміального рівняння $A(\lambda)X(\lambda)+B(\lambda)Y(\lambda)=C(\lambda),$ зокрема можливі степені цих розв'язків. Розв'язування цього матричного поліноміального рівняння зводиться до розв'язування еквівалетного матричного поліноміального рівняння з матрицями-коефіцієнтами у трикутних формах з інваріантними множниками на головних діагоналях, до яких зводяться поліноміальні матриці $A (\lambda), B(\lambda)$ і $C(\lambda)$ напівскалярними еквівалентними перетвореннями. На основі цього вказано межі для степенів розв'язків матричних поліноміальних рівнянь. Встановлено необхідні і достатні умови єдиності розв'язку мінімального степеня. Запропоновано ефективний метод побудови розв'язків мінімальних степенів цих рівнянь. На відміну від відомих результатів про оцінки степенів розв'язків матричних поліноміальних рівнянь, в яких обидва або принаймні один із коефіцієнтів є регулярною матрицею, у цій статті розглянуто випадок матричного поліноміального рівняння з довільними коефіцієнтами $A(\lambda)$ і $B(\lambda).$