Нерівність Вімана для аналітичних функций в $\mathbb{D}\times\mathbb{C}$ з швидко осцилюючими коефіцієнтами

Анотація

Нехай $\mathcal{A}^2$ клас аналітичних функцій $f$ вигляду $$f(z)=f(z_1,z_2)=\sum^{+\infty}_{n+m=0}a_{nm}z_1^nz^m_2$$ з областю збіжності $\mathbb{T}=\{ z\in \mathbb{C}^2 \colon |z_1|<1, |z_2|<+\infty\}$ таких, що $\frac{\partial}{\partial z_2}f(z_1,z_2)\not\equiv0$ в $\mathbb{T}$ і існує $r_0=(r^0_1, r^0_2)\in [0,1)\times[0,+\infty)$ таке, що для всіх $r\in(r^0_1,1)\times(r^0_2,+\infty)$ маємо $r_1\frac{\partial}{\partial r_1}\ln M_f(r)+\ln r_1>1$, де $M_f(r)=\sum_{n+m=0}^{+\infty}|a_{nm}|r_1^nr_2^m.$ Нехай $K(f,\theta)=\{f(z,t)=\sum_{n+m=0}^{+\infty}a_{nm}e^{2\pi it(\theta_n+\theta_m)}:t\in \mathbb{R}\}$ $-$ клас аналітичних функцій, де $(\theta_{nm})$ $-$ послідовність додатних цілих чисел така, що її впорядкування $(\theta^*_k)$  за зростанням задовольняє умову $$\theta^*_{k+1}/\theta^*_{k}\geq q>1, k>0.$$ Для аналітичних функцій з класу $\mathcal{K}(f,\theta)$ уточнено нерівність типу Вімана.