Субгаусові випадкові величини та нерівність Вімана для аналітичних функцій

Анотація

Нехай $f$ $-$ аналітіична функція в $\{z: |z|<R\}$ вигляду $f(z)=\!\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_n z^n.$ У статті доводиться нерівність типу Вімана для випадкових аналітичних функцій вигляду $f(z,\omega)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}Z_n(\omega)a_nz^n$, де $(Z_n)$ $-$ послідовність на ймовірнісному просторі Штейнгауса дійсних незалежних центрованих субгаусових випадкових величин, тобто $(\exists D>0)$ $(\forall k\in\mathbb{N})$ $(\forall \lambda\in\mathbb{R})\colon \mathbf{E}(e^{\lambda Z_k})\leq e^{D \lambda^2}$, і таких, що $(\exists\beta>0)$ $(\exists n_0\in\mathbb{N})\colon$ $\inf\limits_{n\geq n_0}\mathbf{E}|Z_n|^{-\beta}<+\infty.$

Доведено, що для кожного $\delta>0$ існує множина $E(\delta)\subset [0,R)$ скінченної логарифмічної $h$-міри (тобто $\int\nolimits_{E}h(r)d\ln r<+\infty$) така, що майже напевно для всіх $r\in(r_0(\omega),R)\backslash E$ маємо $$M_f(r,\omega):=\max\big\{|f(z,\omega)|\colon |z|=r\big\}\leq \sqrt{h(r)}\mu_f(r)\Big(\ln^3h(r)\ln\{h(r)\mu_f(r)\}\Big)^{1/4+\delta},$$ де $h(r)$ $-$ довільна фіксована неперервна неспадна на $[0;R)$ функція така, що $h(r)\geq2$ для всіх $r\in (0,R)$ і $\int^R_{r_{0}} h(r) d\ln r =+\infty$ для деякого $r_0\in(0,R)$.