Асимптотика цілих функцій з $\upsilon$-щільністю нулів вздовж логарифмічних спіралей

Анотація

Нехай функція зростання $\upsilon$ така, що $r\upsilon'(r)/\upsilon (r) \to 0$ при $r \to +\infty$, $l_\varphi^c = \{z=te^{i(\varphi+c \ln t)}, 1 \leqslant t < +\infty\}$ $-$ логарифмічна спіраль, $f$ $-$ ціла функція нульового порядку. За умови існування $\upsilon$-щільності нулів $f$ вздовж $l_\varphi^c$ знайдено асимптотику $\ln f(re^{i(\theta +c \ln r)})$ вздовж звичайних логарифмічних спіралей $l_\theta^c$ функції $f$ зовні $C_0$-множини. Показано, що обернене до цього твердження правильне лише у випадку розташування нулів $f$ на скінченній системі логарифмічних спіралей $\Gamma_m = \bigcup_{j=0}^m l_{\theta_j}^c$.