Композиція цілої і аналітичної в одиничній кулі функцій

Анотація

У статті досліджується композиція цілої функції від багатьох комплексних змінних і аналітичної функції в одиничній кулі. У статті отримано певні нові версії встановлених раніше результатів, які містять умови, що забезпечують еквівалентність обмеженості $L$-індексу за напрямком такої композиції і обмеженість $l$-індексу початкової функції від однієї змінно, де $L:\mathbb{B}^n\to \mathbb{R}_+$ $-$ неперервна функція, побудована за неперервною функцією $l: \mathbb{C}^m\to \mathbb{R}_+.$ Застовуючи деякі нові ідеї з недавніх результатів про композиції цілих функцій, ми знімаємо умову, що похідна за напрямком від внутрішньої функції $\Phi$ в композиції не дорівнює нулю. Власне, цієї умови позбуваємося, будуючи більшу функцію $L(z)$, для якої $F(z)=f(\underbrace{\Phi(z),\ldots,\Phi(z)}_{m\text{ раз}})$ має обмежений $L$-індекс за напрямком, де $f\colon \mathbb{C}^m\to \mathbb{C}$ $-$ ціла функція обмеженого $l$-індексу за напрямком $(1,\ldots,1)$, $\Phi\colon \mathbb{B}^n\to \mathbb{C}$ $-$ аналітична функція в одиничній кулі.

Ми послаблюємо умову $|\partial_{\mathbf{b}}^k\Phi(z)|\le K|\partial_{\mathbf{b}}\Phi(z)|^k$ для всіх $z\in\mathbb{B}^n$, де $K\geq 1$ $-$ деяка стала, $\mathbf{b}\in\mathbb{C}^n\setminus\{0\}$ $-$ заданий напрямок, а $${\partial_{\mathbf{b}} F(z)}:=\sum\limits_{j=1}^{n}\!\frac{\partial F(z)}{\partial z_{j}}{b_{j}}, \ \partial_{\mathbf{b}}^k F(z):=\partial_{\mathbf{b}}\big(\partial_{\mathbf{b}}^{k-1} F(z)\big).$$ Вказану умову замінюємо на умову $|\partial_{\mathbf{b}}^k\Phi(z)|\le K(l(\Phi(z)))^{1/(N_{\mathbf{1}}(f,l)+1)}|\partial_{\mathbf{b}}\Phi(z)|^k$, де $N_{\mathbf{1}}(f,l)$ $-$ $l$-індекс функції $f$ за напрямком $\mathbf{1}=(1,\ldots,1).$ Отриманий результат покращує попередній результат і є також новим в одновимірному випадку $n=1,$ $m=1$, тобто, якщо $\Phi$ є аналітичною функцією в одиничному крузі та $f: \mathbb{C}\to\mathbb{C}$ $-$ цілою функцією обмеженого $l$-індексу.