Про максимальний член рядів за системами фукнцій в крузі

Анотація

Для цілої трансцендентної функції $f$ і зростаючої до $+\infty$ послідовності $(\lambda_n)$ додатних чисел ряд $A(z)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nf(\lambda_n z)$ за системою ${f(\lambda_nz)}$ називають регулярно збіжним у множині $\{z: |z|<R[A]\}$, якщо $\mathfrak{M}(r,A)=\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n|M_f(r\lambda_n)<+\infty$ для всіх $r\in [0, R[A])$, де $R[A]$ $-$ це радіус регулярної збіжності ряду $A(z)$ і $ M_f(r)=\max\{|f(z)|:|z|=r\}$.

Знайдено умови на послідовність $(\lambda_n)$ та функцію $f$, за яких $\ln\mathfrak{M}(r,A)\sim \ln\,\mu(r,A)$ при $r\to R[A]$, де $\mu(r,A)= \max\{|a_n|M_f(r\lambda_n):n\ge 1\}$ $-$ максимальний член ряду.

Наприкінці статті сформульовано нерозв’язану проблему.