Задача спряження з початково-нелокальними умовами для факторизованих рівнянь високого порядку

Анотація

У цій статті задача розглядається у циліндричній області $(-\alpha,\beta)\times(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})$, яка розділяється гіперплощиною $\{0\}\times(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z})$ на дві неперетинні циліндричні підобласті. Зокрема, дану задачу можна інтерпретувати як пошук розв’язку для пари факторизованих рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами, які відповідно визначені в цих підобластях, з умовами спряження на гіперплощині та початково-нелокальними умовами на нижній і верхній поверхні області.

Формально розв'язок можна представити у вигляді рядів Фур'є методом розділення змінних, але виникає питання про збіжність даного ряду в просторах Соболєва, періодичних функцій за просторовою змінною. Ця збіжність пов'язана з проблемою малих знаменників і може бути нестійкою щодо малих змін коефіцієнтів задачі та параметрів області.

Встановлено метричні оцінки для малих знаменників, які гарантують збіжність розв'язків. Таким чином, отримано достатнi умови розв'язностi задачi в просторах Соболєва. Результати показали, що розв’язність залежить від коефіцієнтів диференціальних рівнянь.