Цілі функції декількох змінних: поведінка похідних за напрямком

Анотація

Нехай $h$ $-$ довільна додатна зростаюча на $[0;+\infty)$ функція така, що $h\Big(x+\frac{1}{h(x)}\Big)=O(h(x)),$ $x\to +\infty$. Для вимірної за Лебегом множини $E\subset [0;+\infty)$ скінченної міри Лебега $\mathop{\rm meas } E=\int_{E}dx$ ми визначаємо асимптотичну $h$-щільність множини $E$ на $+\infty$ формулою
\[{D}_{h}(E)= \varlimsup_{R \rightarrow +\infty} h(R)\cdot \mathop{\rm meas }(E \cap [R;+\infty)).\]

Розглянемо клас $\mathcal{H}^{p}$ цілих в $\mathbb{C}^{p}$ функцій, які є обмеженими в довільній області вигляду $\Pi_{R}=\{z=(z_1,\ldots ,z_p) \in\mathbb{C}^p : \text{Re} z_j<R_j\}$, $R=(R_{1},\ldots,R_{p})\in\mathbb{R}^{p}_{+}$ та для кожного фіксованого $A\in\mathbb{R}^p$ і кожного $r>0$ в $G(r,A)=G+ rA$, де $G$ $-$ повна полілінійна область. Для функції $F\in \mathcal{H}^p$ та $A\in\mathbb {R}^p$ позначимо $F'_A(w)$ похідну $F$ у напрямку $A$ у точці $w\in\mathbb{C}$. Тоді $F^{(k)}_A(w)=(F^{(k-1)}_A(w))'_A$ позначає $k$-ту похідну в напрямку $A$ у точці $w\in\mathbb{C}$. Позначимо також \[S_F(r,A):= \sup\big\{|F(z)| : z \in G(r,A)\big\}= \sup\big\{|F(z)| : z \in \partial G(r,A)\big\},\] \[L_F(r,A) = (\ln S_F(r,A))'_+ .\]

Ми доводимо наступне твердження. Нехай $F\in \mathcal{H}^p$ та $A\in\mathbb {R}^p$ такі, що $L_F(r,A)\uparrow+\infty$, $r\to+\infty$. Якщо $\Phi$ $-$ додатна зростаюча на $[0;+\infty)$ функція, для якої виконуються умови $u(r)\ge \Phi(r)$, $r\ge r_{0}$, та $h(r)=o(\Phi(r))$, $r\to +\infty$, то існує множина $E\subset\mathbb {R}_+$ з нульовою асимптотичною $h$-щільністю (тобто $D_h(E)=0$) така, що для кожного $k\in\mathbb{N}$ маємо \[F^{(k)}_A(w)=(1+o(1))\, L^k_F(r,A)\, F(w)\;\;\text{при}\;\; r\to +\infty, r\in\mathbb {R}_+\setminus E,\] для кожної точки $w\in\partial G(r,A)$ такої, що нерівність $|F(w)|\geq S_F(r,A)/(1+\varepsilon(r))$ виконується з заданою довільною функцією $\varepsilon(r)$ такою, що $\varepsilon(r)\to + 0$, $r\to +\infty$.