Нерівність типу Вімана для аналітичних та цілих функцій і $h$-міра виняткових множин

Анотація

Нехай $\mathcal{E}_R$ $-$ клас аналітичних функцій $f$, представлених степеневими рядами вигляду $f(z)=\sum\limits\limits_{n=0}^{+\infty}a_n z^n$ з радіусом збіжності $R:=R(f)\in(0;+\infty].$ Для $r\in [0, R)$ через $M_f(r)=\max\{|f(z)|\colon$ $|z|=r\}$ та $\mu_f(r)=\max\{|a_n| r^n\colon n\geq 0\}$ відповідно позначимо максимум модуля і максимальний член степеневого ряду. Через $\mathcal{H}_R$, $R\leq +\infty$, також позначимо клас неперервних додатних функцій, що зростають на інтервалі $[0;R)$ до $+\infty$ і таких, що $h(r)\geq2$ для всіх $r\in (0,R)$ і $\int^R_{r_{0}} h(r) d\ln r =+\infty$ для деякого $r_0\in(0,R)$. Доведено, зокрема, такі твердження.

$1^0.$ Якщо $h\in \mathcal{H}_R$ і $f\in \mathcal{E}_R,$ то для довільного $\delta>0$ існують $E(\delta,f,h):=E\subset(0,R)$, $r_0 \in (0,R)$, такі що $$\forall\ r\in (r_0,R)\backslash E\colon\ M_f(r)\leq h(r) \mu_f(r) \big\{\ln h(r)\ln(h(r)\mu_f(r))\big\}^{1/2+\delta}$$ та $$\int\nolimits_E h(r) d\ln r < +\infty.$$

$2^0.$ Якщо додатково припустити, що функція $f\in \mathcal{E}_R$ необмежена, то співвідношення $$\ln M_f(r)\leq(1+o(1))\ln (h(r)\mu_f(r))$$ виконується при $r\to R$, $r\notin E$.

Зауважимо, що з твердження $1^0$ при $h(r)\equiv \text{const}$ випливає класична теорема Вімана-Валірона для цілих функцій, а при $h(r)\equiv 1/(1-r)$ $-$ теорема про нерівність типу Кеварі для аналітичних функцій в одиничному крузі. З твердження $2^0$ у випадку, коли $\ln h(r)=o(\ln\mu_f(r))$, $r\to R$, отримуємо, що співвідношення $\ln M_f(r)=(1+o(1))\ln \mu_f(r)$ виконується при $r\to R$, $r\notin E$.